复变函数 第3次作业
吴桐 2024012555
4.判断下列函数是否为多值函数, 若为多值函数, 请分析其支点的情况
(1) \(\sqrt{1 - z^3}\)
是多值函数
可能支点：\(z = 1, z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i, z = \infty\)
判断
- \(z=1\)：此时\(z\)绕行一圈后\(w\) 的辐角变化 \(\pi\)，是支点
- \(z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\)：此时\(z\)绕行一圈后\(w\) 的辐角变化\(\pi\)，是支点
- \(z = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i\)：此时\(z\)绕行一圈后\(w\) 的辐角变化\(\pi\)，是支点
- 无穷远点：此时\(z\)绕行一圈后\(w\) 的辐角变化\(3 \pi\)，是支点
(2) \(\sqrt[3]{z^2 - 1}\)
是多值函数
可能支点：\(z = 1, z = -1, z = \infty\)
判断
- \(z = 1\)：此时\(z\)绕行一圈后\(w\) 的辐角变化\(\frac{2}{3} \pi\)，是支点
- \(z = - 1\)：此时\(z\)绕行一圈后\(w\) 的辐角变化\(\frac{2}{3} \pi\)，是支点
- 无穷远点：此时\(z\)绕行一圈后\(w\) 的辐角变化\(\frac{4}{3} \pi\)，是支点
(3) \(\sqrt{\cos z}\)
是多值函数
可能支点：\(\cos z = 0\)，即 \(z = \frac{\pi}{2} + k \pi\)
判断
\(z = \frac{\pi}{2} + k \pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)：此时\(z\)绕行一圈后\(w\) 的辐角变化\(\pi\)，是支点
(6)\(\frac{\sin \sqrt{z}}{\sqrt{z}}\)
是多值函数
可能支点：\(\sin \sqrt{z} = 0\)，即\(z = k^{2} \pi^{2}\)
判断
- \(z = 0\) ： 此时 \(z\) 绕行一圈之后 \(w\) 的辐角变化为 \(0\) ，不是支点
- \(z = k^{2} \pi^{2} \quad (k \neq 0)\) ： 此时 \(z\) 绕行一圈之后 \(w\) 的辐角变化为 \(\pi\) ，是支点
5.函数 \(w (z) = z + \sqrt{z - 1}\), 规定 \(w(2) =1\), 试分别求当 \(z\) 沿着图中 \(C1\) 和 \(C2\)连续变化时 \(w(−3)\) 的值
函数支点为 \(z = 1\) 以及无穷远点，由于 \(w (2) = 1\)，所以函数在 \(x\) 轴正半轴上辐角为 \(2 \pi\)
\(z\) 沿着图中 \(C1\) 变化时 $$ w (-3) = 3 e^{i 3 \pi} + |\sqrt{-3 - 1}| e^{i \frac{3 \pi}{2}} = -3 - 2 i $$ \(z\) 沿着图中 \(C2\) 变化时 $$ w(-3) = 3 e^{i \pi} + |\sqrt{-3 -1}| e^{i \frac{\pi}{2}} = -3 + 2i $$
7.函数 \(\ln \frac{1 - z}{1 + z}\), 规定 \(w(0) = 0\), 试讨论当 \(z\) 分别限制在图 \((a)\) 和 \((b)\) 中变化时, \(w(3)\) 为多少? \(w(∞)\) 又是多少?
当 \(z\) 限制在图 \((a)\) 中变化时
当 \(z\) 限制在图 \((b)\) 中变化时 $$ w (3) = \ln \left( \left| \frac{1 - 3}{1 + 3} \right| e^{i (- \pi - 0)} \right) = - \ln 2 - i \pi $$
8.设 \(f(z)=\dfrac{z^{1-p}(1-z)^p}{2 z}\) ， \(-1 < p < 2\) ，取割线为实轴上从 \(0\) 到 \(1\) 的线段，且割线上岸辐角为 \(0\) 。试求 \(f(\pm \mathrm{i})\) ， $ f(\infty)$
$$
f (i) = \left| \frac{i^{1 - p} (1 - i)^{p}}{2 i} \right| e^{i ((1 - p) \frac{\pi}{2}- p \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2})} = 2^{\frac{p}{2} - 1} e^{- i p \frac{3 \pi}{4}}
$$