复变函数第9次作业

Chasse_neige

2.证明
$$ f_1(z) = 1 + az + a^2z^2 + \cdots
$$ 与
$$ f_2(z) = \frac{1}{1 - z} - \frac{(1 - a)z}{(1 - z)^2} + \frac{(1 - a)^2z^2}{(1 - z)^3} - \cdots
$$ 互为解析延拓。

证明

$f_{1}$ 的收敛区域为 $$ |az| < 1 $$ 即 $$ |z| < \frac{1}{|a|} $$ 在收敛域内 $$ f_{1} = \sum_{n = 0}^{\infty} (az)^{n} = \frac{1}{1 - az} $$ $f_{2}$ 的收敛区域 $$ f_{2} (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} (1 - a)^{n} z^{n}}{(1 - z)^{n + 1}} $$ 所以 $f_{2}$ 在 $$ \left| (1 - a) \frac{z}{1 - z} \right| < 1 $$ 时收敛

所以收敛域为 $|\frac{z}{1 - z}| < \frac{1}{|1 - a|}$

收敛域内 $$ f_{2} (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} (1 - a)^{n} z^{n}}{(1 - z)^{n + 1}} = \frac{1}{1 - z} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{- (1 - a) z}{1 - z}^{n} = \frac{1}{1 - z} \frac{1}{1 + \frac{(1 - a)z}{1- z}} = \frac{1}{1 - az} $$ 所以在两收敛域的交集内两个函数均收敛于 $\frac{1}{1 - az}$，即二者互为解析延拓。

3.请证明级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{1 - z^{n+1}} - \frac{1}{1 - z^n} \right) $$ 在区域 $|z| < 1$ 与 $|z| > 1$ 内分别代表两个解析函数，但不互为解析延拓。

证明

在区域 $|z| < 1$ 内 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{1 - z^{n+1}} - \frac{1}{1 - z^n} \right) = - \frac{1}{1- z} + 1 = - \frac{z}{1 - z} $$ 在区域 $|z| > 1$ 内 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{1 - z^{n+1}} - \frac{1}{1 - z^n} \right) = - \frac{1}{1- z} $$ 当 $|z| = 1$ 时对于 $\arg z \in Q$ 来说，必然会存在 $ \frac{1}{1 - z^{n}}$ 没有定义的情况，也就是说在收敛圆边界上有无穷个奇点，且每个点均为奇点集的聚点

二者的解析域没有交集，也就是说不互为解析延拓

4.已知
$$ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^{2^n} = z + z^2 + z^4 + z^8 + \cdots, \quad |z| < 1. $$

(a) 证明：$z = 1$ 是 $f(z)$ 的奇点

证明

原函数在 $z = 1$ 处满足 $$ f (z) = 1 + 1 + 1 + \cdots $$ 所以 $\forall n \in \mathbb{N}$ $$ \exists k \in \mathbb{N}, s.t. \sum_{i = 0}^{k} z^{2^{i}} > n $$ 所以该级数在$z = 1$ 处发散，$z = 1$ 是 $f(z)$ 的奇点

(b) 证明：$f(z) = z + f(z^2)$，因此 $z^2 = 1$ 的根也是 $f(z)$ 的奇点

证明 $$ z + f (z^{2}) = z + \sum_{n = 0}^{\infty} (z^{2})^{2^{n}} = z + \sum_{n = 1}^{\infty} z^{2^{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{2^{n}} = f (z) $$ 所以因此 $z^2 = 1$ 的根也是 $f(z)$ 的奇点

(c) 进一步证明：$z^{2^k} = 1$ 的 $2^k$ 个根也是 $f(z)$ 的奇点，$k$ 为任意正整数

证明

$k$ 为任意正整数，对于 $k$ 而言 $$ f (z) = \sum_{n = 0}^{k - 1} z^{2^{n}} + \sum_{n = k}^{\infty} z^{2^{n}} = \sum_{n = 0}^{k - 1} z^{2^{n}} + \sum_{n = 0}^{\infty} (z^{2^{k}})^{2^{n}} = \sum_{n = 0}^{k - 1} z^{2^{n}} + f(z^{2^{k}}) $$ 所以$z^{2^k} = 1$ 的 $2^k$ 个根也是 $f(z)$ 的奇点，$k$ 为任意正整数

(d) 最后证明：不可能将 $f(z)$ 延拓到单位圆外

证明

由于$z^{2^k} = 1$ 的 $2^k$ 个根是 $f(z)$ 的奇点，$k$ 为任意正整数，所以对于 $z = e^{i \theta}$ 而言，$e^{i 2^{k} \theta} = 1$ 的根均为奇点，所以 $$ \theta = \frac{2 n \pi}{2^{k}} \qquad (n \in \mathbb{Z}, k \in \mathbb{N}) $$ 均为奇点，所以 $$ \forall \theta \in [0, 2 \pi) , \forall \epsilon > 0, \exists k, s.t. \frac{1}{2^{k}} < \epsilon $$ 此时用将 $[0, 2 \pi)$ 划分为 $2^{k}$ 个小格，对于 $\theta$ 所在的那个小格 $$ \left| \theta - \frac{n}{2^{k}} 2 \pi \right| < \epsilon $$ 所以在收敛圆边界上每点的邻域内均存在奇点

所以不存在收敛域跨越 $|z| = 1$ 的 Taylor 展开，也就是不能将函数解析延拓至 $|z| = 1$ 外

1.讨论下列函数奇点的性质，如果是孤立奇点，则求出函数在该点的留数

(3) $$ \frac{\cos az - \cos bz}{z^3} $$

$z = 0$ 是一阶极点，是孤立奇点，留数为 $$ a_{-1} = - \frac{1}{2} (a^{2} - b^{2}) $$ (5) $$ \frac{\sin z}{z^2} - \frac{1}{z} $$ $z = 0$ 是可去奇点，是孤立奇点，留数为 $$ a_{-1} = \lim_{z \to 0} \frac{\sin z - z}{z} = 0 $$ (8) $$ \frac{z}{1 - \cos z} $$ $z = 2 k \pi, \quad (k \in \mathbb{Z})$ 处

当 $k = 0$ 时为一阶极点，为孤立奇点，留数为 $$ a_{-1} = 2 $$ 当 $k \neq 0$ 时为二阶极点，为孤立奇点，留数为 $$ a_{-1} = 2 $$ (9) $$ \frac{1}{(z - 1) \ln z} $$ 规定割线为$z = 0$ 沿 $x$ 轴延伸到无穷远点的直线，在割线上岸辐角为0.此时 $z = 1$ 处为二阶极点，是孤立奇点，留数为 $$ a_{-1} = \frac{1}{2} $$ 在割线下岸辐角为 $2 \pi$ ，此时 $z = 1$ 为一阶极点，是孤立奇点，留数为 $$ a_{-1} = \frac{1}{2 \pi i} $$ 其它叶上的不同辐角以此类推。

2.指出下列函数在 $\infty$ 点的性质，并求其留数

(2) $$ \frac{\cos z}{z} $$

换元 $w = \frac{1}{z}$ $$ \frac{\cos z}{z} = w {\cos \frac{1}{w}} $$ 所以在无穷远点原函数为本性奇点，留数为 $$ a_{-1} = - \text{Res} (\frac{1}{w} {\cos \frac{1}{w}}, w = 0) = -1 $$ (3) $$ \frac{z}{\cos z} $$

换元 $w = \frac{1}{z}$ $$ \frac{z}{\cos z} = \frac{1}{w \cos \frac{1}{w}} $$ 所以在无穷远点原函数为非孤立奇点，不存在留数

(6) $$ \sqrt{(z - 1)(z - 2)} $$ 换元 $w = \frac{1}{z}$ $$ \sqrt{(z - 1)(z - 2)} = \sqrt{(\frac{1}{w} - 1) (\frac{1}{w} - 2)} $$ 所以无穷远点为原函数三阶极点，留数为 $$ a_{-1} = - \text{Res} (\frac{1}{w^{2}} \sqrt{(\frac{1}{w} - 1) (\frac{1}{w} - 2)}, w = 0) = \frac{1}{8} $$

复变函数 第9次作业

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