电动力学 第15周作业
Chasse_neige
1. 运动带电粒子的电磁场
运动带电粒子的描述，推迟效应，李纳-维谢尔势，电磁场，辐射功率及角分布
作业：
(a) 书7.7
7.7 相对论性加速带电粒子的辐射场
(1) 根据相对论协变的力学方程，证明相对论性加速带电荷 \(q\) 的粒子的辐射场公式(1.17)用作用力表示为
\[
\vec{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 m c^2 R} \left\{ \frac{\delta^3}{\gamma} \vec{e}_r \times [(\vec{e}_r - \vec{\beta}) \times \vec{F} - (\vec{\beta} \cdot \vec{F})(\vec{e}_r \times \vec{\beta})] \right\}_{\text{ret}}
\]
其中 \(\delta = (1 - \vec{\beta} \cdot \vec{e}_r)^{-1}\)，\(\text{ret}\) 表示时刻 \(t' = t - \frac{R}{c}\) 时的值。
\[
\vec{E}_{radia} (\vec{r}, t) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} S_{ret}^{3}} \left\{ \vec{R} \times ((\vec{R} - R \vec{\beta}) \times \vec{a}) \right\}_{ret} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} R} \left\{ \delta^{3} \vec{e}_{r} \times ((\vec{e}_{r} - \vec{\beta}) \times \vec{a}) \right\}_{rev}
\]
带入
\[
\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} = \gamma m \vec{a} + \gamma^{3} m (\vec{\beta} \cdot \vec{a}) \vec{\beta}
\]
所以
\[
\begin{aligned}
&\frac{1}{\gamma m} \vec{e}_r \times [(\vec{e}_r - \vec{\beta}) \times \vec{F} - (\vec{\beta} \cdot \vec{F})(\vec{e}_r \times \vec{\beta})] \\\\
&= \vec{e}_{r} \times \left((\vec{e}_{r} - \vec{\beta}) \times (\vec{a} + \gamma^{2} (\vec{\beta} \cdot \vec{a}) \vec{\beta}) - (\vec{\beta} \cdot (\vec{a} + \gamma^{2} (\vec{\beta} \cdot \vec{a}) \vec{\beta})) (\vec{e}_{r} \times \vec{\beta}) \right) \\\\
&= \vec{e}_{r} \times \left( (\vec{e}_{r} - \vec{\beta}) \times \vec{a} - (\vec{\beta} \cdot \vec{a}) (\vec{e}_{r} \times \vec{\beta}) + (\vec{\beta} \cdot \vec{a}) (\vec{e}_{r} \times \vec{\beta})) \right) = \vec{e}_{r} \times ((\vec{e}_{r} - \vec{\beta}) \times \vec{a})
\end{aligned}
\]
所以
\[
\begin{aligned}
&\frac{q}{4\pi \epsilon_0 m c^2 R} \left\{ \frac{\delta^3}{\gamma} \vec{e}_r \times [(\vec{e}_r - \vec{\beta}) \times \vec{F} - (\vec{\beta} \cdot \vec{F})(\vec{e}_r \times \vec{\beta})] \right\}_{\text{ret}} \\\\
&= \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} R} \left\{ \delta^{3} \vec{e}_{r} \times ((\vec{e}_{r} - \vec{\beta}) \times \vec{a}) \right\}_{rev} = \vec{E}_{radia}
\end{aligned}
\]
(2) 利用公式 \((\vec{A} \times \vec{B})^2 = \vec{A}^2 \vec{B}^2 - (\vec{A} \cdot \vec{B})^2\)，计算 \([(\vec{e}_r - \vec{\beta}) \times \vec{F}]^2\) 和 \([\vec{F} \cdot (\vec{e}_r \times \vec{\beta})]^2\)
\[
\begin{aligned}
[(\vec{e}_r - \vec{\beta}) \times \vec{F}]^2 &= (\vec{e}_{r} - \vec{\beta})^{2} F^{2} - ((\vec{e}_{r} - \vec{\beta}) \cdot \vec{F})^{2} \\\\
&= (1 + \beta^{2} - 2 \vec{e}_{r} \cdot \vec{\beta}) F^{2} - (\vec{e}_{r} \cdot \vec{F})^{2} - (\vec{\beta} \cdot \vec{F})^{2} + 2 (\vec{e}_{r} \cdot \vec{F}) (\vec{\beta} \cdot \vec{F})
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
[\vec{F} \cdot (\vec{e}_r \times \vec{\beta})]^2 &= F^{2} |\vec{e}_{r} \times \vec{\beta}|^{2} - |\vec{F} \times (\vec{e}_{r} \times \vec{\beta})|^{2} = F^{2} (\beta^{2} - (\vec{e}_{r} \cdot \vec{\beta})^{2}) - |(\vec{F} \cdot \vec{\beta}) \vec{e}_{r} - (\vec{F} \cdot \vec{e}_{r}) \vec{\beta}|^{2} \\\\
&= F^{2} (\beta^{2} - (\vec{e}_{r} \cdot \vec{\beta})^{2}) - (\vec{F} \cdot \vec{\beta})^{2} - (\vec{F} \cdot \vec{e}_{r})^{2} \beta^{2} + 2 (\vec{e}_{r} \cdot \vec{F}) (\vec{\beta} \cdot \vec{F}) (\vec{e}_{r} \cdot \vec{\beta})
\end{aligned}
\]
(3) 利用上述公式，证明带电粒子的辐射功率的角分布公式(2.5)用作用力表示为
\[
\frac{d P}{d \Omega} = \frac{q^2}{16 \pi^2 \epsilon_0 m^2 c^3} \frac{\delta^3}{\gamma^2} \left[ \vec{F}^2 - (\vec{\beta} \cdot \vec{F})^2 - \frac{\delta^2}{\gamma^2} (\vec{F} \cdot \vec{e}_r - \vec{F} \cdot \vec{\beta})^2 \right]
\]
证明
\[
\begin{aligned}
\frac{dP}{d \Omega} &= \frac{1}{\mu_{0}} (\vec{E} \times \vec{B}) \cdot \vec{e}_{r} R^{2} \frac{dt}{dt'} = \frac{R^{2}}{\mu_{0} c} |\vec{E}_{radia}|^{2} \delta^{-1} \\\\
&= \frac{q^{2}}{16 \pi^{2} \epsilon_{0} m^{2} c^{3}} \left\{ \frac{\delta^{5}}{\gamma^{2}} \left| \vec{e}_r \times [(\vec{e}_r - \vec{\beta}) \times \vec{F} - (\vec{\beta} \cdot \vec{F})(\vec{e}_r \times \vec{\beta})] \right|^{2} \right\}_{\text{ret}} \\\\
&= \frac{q^{2}}{16 \pi^{2} \epsilon_{0} m^{2} c^{3}} \frac{\delta^{5}}{\gamma^{2}} \left( \left|(\vec{e}_r - \vec{\beta}) \times \vec{F} - (\vec{\beta} \cdot \vec{F})(\vec{e}_r \times \vec{\beta}) \right|^{2} - [\vec{F} \cdot (\vec{e}_r \times \vec{\beta})]^2 \right) \\\\
&= \frac{q^{2}}{16 \pi^{2} \epsilon_{0} m^{2} c^{3}} \frac{\delta^{5}}{\gamma^{2}} ([(\vec{e}_r - \vec{\beta}) \times \vec{F}]^2 + (\vec{\beta} \cdot \vec{F})^{2} (\beta^{2} - (\vec{e}_{r} \cdot \vec{\beta})^{2}) - 2 (\vec{\beta} \cdot \vec{F}) ((\vec{e}_r - \vec{\beta}) \times \vec{F}) \cdot (\vec{e}_{r} \times \vec{\beta}) \\\\
- [\vec{F} \cdot (\vec{e}_r \times \vec{\beta})]^2) \\\\
&= \frac{q^{2}}{16 \pi^{2} \epsilon_{0} m^{2} c^{3}} \frac{\delta^{5}}{\gamma^{2}} \left[ (1 - \vec{e}_{r} \cdot \vec{\beta})^{2} (\vec{F}^2 - (\vec{\beta} \cdot \vec{F})^2) - (1 - \beta^{2}) (\vec{F} \cdot \vec{e}_r - \vec{F} \cdot \vec{\beta})^2 \right] \\\\
&= \frac{q^2}{16 \pi^2 \epsilon_0 m^2 c^3} \frac{\delta^3}{\gamma^2} \left[ \vec{F}^2 - (\vec{\beta} \cdot \vec{F})^2 - \frac{\delta^2}{\gamma^2} (\vec{F} \cdot \vec{e}_r - \vec{F} \cdot \vec{\beta})^2 \right]
\end{aligned}
\]
(b) 试由定义，\(\frac{1}{J} = \int d^3x' \delta \left( r' - r_0\left(t - \frac{\|r-r'\|}{c}\right) \right)\) 证明：\(J = 1 - \frac{\vec{R}^*}{R^*} \cdot \frac{\vec{v}^*}{c}\)。并讨论 \(J\) 的物理意义。若在介质中，式中 \(c\) 应换为 \(\frac{c}{n}\)（\(n\) 为介质的折射率），则 \(J\) 有可能为\(0\)，它对应什么物理？
证明，由三维 \(\delta\) 函数的性质
\[
\delta (\vec{r}' - \vec{r}_{0} (t - \frac{|\vec{r} - \vec{r}'|}{c})) = \frac{\delta (\vec{r}')}{\|\nabla' (\vec{r}' - \vec{r}_{0} (t - \frac{|\vec{r} - \vec{r}'|}{c}))\|}
\]
所以
\[
J = ||\nabla' (\vec{r}' - \vec{r}_{0} (t - \frac{|\vec{r} - \vec{r}'|}{c}))|| = \left\|\overset{\leftrightarrow}{I} - \frac{\vec{R}^{*} \vec{v}^{*}}{c R^{*}} \right\|
\]
利用线性代数中的结论，对于 \(A_{m \times n}\) 以及 \(B_{n \times m}\) 来说
\[
\|I_{m} - AB \| = \|I_{n} - BA \|
\]
所以
\[
J = \left\|\overset{\leftrightarrow}{I} - \frac{\vec{R}^{*} \vec{v}^{*}}{c R^{*}} \right\| = 1 - \frac{\vec{R}^*}{R^*} \cdot \frac{\vec{v}^*}{c}
\]
当在介质中时
\[
J = 1 - \frac{\vec{R}^*}{R^*} \cdot \frac{n \vec{v}^*}{c}
\]
当 $n $ 取值大到 \(J = 0\) 时，也就是粒子运动速度大于介质中光速，此时会发生切连科夫辐射，此时辐射强度集中在 \(\cos \theta = \frac{c}{n v^{*}}\) 处。
(c) 试证任意运动的电磁场为
\[
\vec{E}(\vec{r}, t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 S^{* 3}} \left( \vec{R}^* - \frac{R^* \vec{v}^*}{c} \right) \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) + \frac{q}{4\pi\epsilon_0 c^2 S^{* 3}} \vec{R}^* \times \left[ \left( \vec{R}^* - \frac{R^* \vec{v}^*}{c} \right) \times \vec{a}^* \right]
\]
\[
\vec{B}(\vec{r}, t) = \frac{\vec{R}^*}{cR^*} \times \vec{E}(\vec{r}, t)
\]
证明
注意：一下推导中可以分解算符为
\[
\begin{aligned}
\nabla &= \nabla^{*} + \nabla t^{*} \frac{\partial}{\partial t^{*}} \\\\
\frac{\partial}{\partial t} &= \frac{\partial t^{*}}{\partial t} \frac{\partial}{\partial t^{*}}
\end{aligned}
\]
由推迟时间定义 \(t^* = t - \frac{R^*}{c}\)，固定场点 \(\vec{r}\)，对 \(t\) 求导：
\[
\frac{\partial t^*}{\partial t} = 1 - \frac{1}{c} \frac{\partial R^*}{\partial t}
\]
其中 \(R^* = |\vec{r} - \vec{r}_0(t^*)|\)，且：
\[
\frac{\partial R^*}{\partial t} = -\frac{\vec{R}^* \cdot \vec{v}^*}{R^*} \frac{\partial t^*}{\partial t}
\]
代入得：
\[
\frac{\partial t^*}{\partial t} = 1 + \frac{\vec{R}^* \cdot \vec{v}^*}{c R^*} \frac{\partial t^*}{\partial t} \implies \frac{\partial t^*}{\partial t} = \frac{R^*}{R^* - \frac{\vec{R}^* \cdot \vec{v}^*}{c}} = \frac{R^*}{S^*}
\]
\(\nabla R^*\)
\(R^* = |\vec{r} - \vec{r}_0(t^*)|\)，固定 \(t\)，对 \(\vec{r}\) 求梯度：
\[
\nabla R^* = \frac{\vec{R}^*}{R^*} - \frac{\vec{R}^* \cdot \vec{v}^*}{R^*} \nabla t^*
\]
代入 \(\nabla t^* = -\frac{1}{c} \nabla R^*\)：
\[
\nabla R^* = \frac{\vec{R}^*}{R^*} + \frac{\vec{R}^* \cdot \vec{v}^*}{c R^*} \nabla R^* \implies \nabla R^* = \frac{\frac{\vec{R}^*}{R^*}}{1 - \frac{\vec{R}^* \cdot \vec{v}^*}{c R^*}} = \frac{\vec{R}^*}{S^*}
\]
\(\nabla t^*\)
由 \(t^* = t - \frac{R^*}{c}\) 得：
\[
\nabla t^* = -\frac{1}{c} \nabla R^* = -\frac{1}{c} \frac{\vec{R}^*}{S^*}
\]
综上所述
\[
\begin{aligned}
\nabla R^{*} &= \frac{\vec{R}^{*}}{S^{*}} \\\\
\nabla t^{*} &= - \frac{1}{c} \frac{\vec{R}^{*}}{S^{*}} \\\\
\frac{\partial R^{*}}{\partial t} &= - \frac{\vec{R}^{*} \cdot \vec{v}^{*}}{S^{*}} \\\\
\frac{\partial t^{*}}{\partial t} &= \frac{R^{*}}{S^{*}}
\end{aligned}
\]
所以由李纳维谢尔势
\[
\phi(\vec{r}, t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{S^*}
\]
\[
\vec{A}(\vec{r}, t) = \frac{\mu_0 q}{4\pi} \frac{\vec{v}^*}{S^*}
\]
\[
\vec{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
\]
\(-\nabla \phi\)
\(\phi = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} (S^*)^{-1}\)，先求 \(\nabla S^*\)：
\[
\nabla S^* = \nabla R^* - \frac{1}{c} \nabla (\vec{R}^* \cdot \vec{v}^*) = \frac{\vec{R}^*}{S^*} - \frac{\vec{v}^*}{c} + \frac{1}{c^2} (\vec{R}^* \cdot \vec{a}^* - v^{*2}) \frac{\vec{R}^*}{S^*}
\]
故：
\[
-\nabla \phi = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{(S^*)^2} \left[ \frac{\vec{R}^*}{S^*} - \frac{\vec{v}^*}{c} + \frac{1}{c^2} (\vec{R}^* \cdot \vec{a}^* - v^{*2}) \frac{\vec{R}^*}{S^*} \right]
\]
\(-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\)
\(\vec{A} = \frac{\mu_0 q}{4\pi} \frac{\vec{v}^*}{S^*}\)，计算得：
\[
-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} = -\frac{q}{4\pi\epsilon_0 c^2} \frac{1}{(S^*)^2} \frac{R^*}{S^*} \left[ \vec{a}^* + \frac{\vec{v}^* (\vec{R}^* \cdot \vec{v}^*)}{(R^*)^2} - \frac{v^{*2}}{c} \frac{\vec{v}^*}{R^*} + \frac{\vec{v}^* (\vec{R}^* \cdot \vec{a}^*)}{c R^*} \right]
\]
自场项：
\[
\vec{E}_{\text{self}} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 S^{*3}} \left( \vec{R}^* - \frac{R^* \vec{v}^*}{c} \right) \left(1 - \frac{v^{2}}{c^2}\right)
\]
辐射项：
\[
\vec{E}_{\text{radia}} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 c^2 S^{*3}} \vec{R}^* \times \left[ \left( \vec{R}^* - \frac{R^* \vec{v}^*}{c} \right) \times \vec{a}^* \right]
\]
总电场：
\[
\vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E}_{\text{vel}} + \vec{E}_{\text{acc}} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 S^{* 3}} \left( \vec{R}^* - \frac{R^* \vec{v}^*}{c} \right) \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) + \frac{q}{4\pi\epsilon_0 c^2 S^{* 3}} \vec{R}^* \times \left[ \left( \vec{R}^* - \frac{R^* \vec{v}^*}{c} \right) \times \vec{a}^* \right]
\]
磁场：
\[
\begin{aligned}
\vec{B}(\vec{r}, t) &= \nabla \times \vec{A} = \nabla^{*} \times \vec{A} + (\nabla t^{*}) \times \frac{\partial \vec{A}}{\partial t^{*}} = \nabla^{*} \times (\vec{v}^{*} \frac{\phi}{c^{2}}) + \frac{\partial t}{\partial t^{*}} (\nabla t^{*}) \times \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \\\\
&= (\nabla^{*} \phi) \times \frac{\vec{v}^{*}}{c^{2}} - \frac{\vec{R}^{*}}{c R^{*}} \times \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
\end{aligned}
\]
\[
\nabla^{*} \phi = \nabla^{*} \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{S^*} = - \frac{q}{4\pi\epsilon_0 S^{2*}} \nabla^{*} (R^{*} - \frac{\vec{R}^{*} \cdot \vec{v}^{*}}{c}) = - \frac{q}{4\pi\epsilon_0 S^{2*}} (\frac{\vec{R}^{*}}{R^{*}} - \frac{\vec{v}^{*}}{c})
\]
所以
\[
(\nabla^{*} \phi) \times \frac{\vec{v}^{*}}{c^{2}} = - \frac{q}{4\pi\epsilon_0 S^{2*}} \frac{\vec{R}^{*}}{R^{*}} \times \frac{\vec{v}^{*}}{c^{2}} = - \frac{\vec{R}^{*}}{cR^{*}} \times \frac{q \vec{v}^{*}}{4 \pi \epsilon_{0} c S^{2*}} = \frac{\vec{R}^{*}}{c R^{*}} \times (- \nabla \phi)
\]
所以
\[
\vec{B} = \frac{\vec{R}^{*}}{c R^{*}} \times (- \nabla \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}) = \frac{\vec{R}^{*}}{c R^{*}} \times \vec{E}
\]
(d) 书7.1, 7.3, 7.4
7.1 电子的速度与加速度的夹角
电子的速度 \(v\) 与加速度 \(\dot{v}\) 的夹角为 \(\alpha\)，证明 \(v\) 与 \(\dot{v}\) 平面内与 \(\dot{v}\) 的夹角为 \(\beta\) 的方向上无辐射，\(\beta\) 由以下方程决定：
\[
\sin \beta = \frac{v}{c} \sin \alpha
\]
证明
\[
\frac{d P}{d \Omega} (t') = \frac{q^{2}}{16 \pi^{2} \epsilon_{0} c^{3}} \frac{|\vec{e}_{r} \times ((\vec{e}_{r} - \vec{\beta}) \times \vec{a})|^{2}}{(1 - \vec{e}_{r} \cdot \vec{\beta})^{5}}
\]
\[
\vec{e}_{r} \times ((\vec{e}_{r} - \vec{\beta}) \times \vec{a}) = (\vec{e}_{r} \cdot \vec{a}) (\vec{e}_{r} - \vec{\beta}) - (1 - \vec{e}_{r} \cdot \vec{\beta}) \vec{a}
\]
没有辐射的方向满足
\[
\begin{aligned}
(\vec{e}_{r} \cdot \vec{a}) (\vec{e}_{r} - \vec{\beta}) &= (1 - \vec{e}_{r} \cdot \vec{\beta}) \vec{a} \\\\
(\vec{e}_{r} \cdot \vec{a}) (\vec{e}_{r} \cdot \vec{a} - \vec{\beta} \cdot \vec{a}) &= (1 - \vec{e}_{r} \cdot \vec{\beta}) a^{2}
\end{aligned}
\]
假设 \(\vec{e}_{r}\) 与 \(\vec{a}\) 的夹角为 \(\beta\) ，切该夹角的正方向与 \(\alpha\) 定义相同
\[
\cos \beta (\cos \beta - \frac{v}{c} \cos \alpha) = 1 - \frac{v}{c} \cos (\beta - \alpha)
\]
\[
\cos^{2} \beta - \frac{v}{c} \cos \beta \cos \alpha = 1 - \frac{v}{c} (\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha)
\]
\[
\cos^{2} \beta = 1 - \frac{v}{c} \sin \beta \sin \alpha
\]
\[
\frac{v}{c} \sin \beta \sin \alpha = \sin^{2} \beta
\]
\[
\sin \beta = \frac{v}{c} \sin \alpha
\]
7.3 带电粒子的简谐振动
有一带电荷 \(q\) 的粒子沿 \(z\) 轴作简谐振动 \(z = z_0 e^{- i\omega t}\)。设 \(z_0 \omega \ll c\)，求：
(1) 它的辐射场和能流
利用偶极辐射的结论，假设场点和 \(z\) 轴的夹角为 \(\theta\)
\[
\vec{E} \approx \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2} R} (\vec{e}_{r} \times (\vec{e}_{r} \times \vec{a}))
\]
其中 \(R\) 和 \(a\) 均为推迟时间时的结果。由于场点和粒子距离 \(R >> z_{0}\) ，所以在远场处推迟时间可以近似为 \(\frac{R}{c}\)
\[
\begin{aligned}
\vec{E} \approx \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2} R} (\vec{e}_{r} \times (\vec{e}_{r} \times \vec{a})) &= \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2} R} (- \omega^{2} z_{0} e^{- i \omega (t - \frac{R}{c})}) (\vec{e}_{r} \times (\vec{e}_{r} \times \vec{e}_{z})) \\\\
&= - \frac{\omega^{2} q z_{0} \sin \theta}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2} R} e^{i \omega (\frac{R}{c} - t)} \vec{e}_{\theta}
\end{aligned}
\]
\[
\vec{B} \approx \frac{\vec{e}_{r}}{c} \times \vec{E} = - \frac{\omega^{2} q z_{0} \sin \theta}{4 \pi \epsilon_{0} c^{3} R} e^{i \omega (\frac{R}{c} - t)} \vec{e}_{\phi}
\]
\[
<\vec{S}> = \frac{1}{2 \mu_{0}} \vec{E} \times \vec{B}^{*} = \frac{\omega^{4} \mu_{0} q^{2} z_{0}^{2} \sin^{2} \theta}{32 \pi^{2} c R^{2}} \vec{e}_{r}
\]
(2) 它的自场，比较两者的不同
自场
\[
\vec{E} \approx \frac{q}{ 4 \pi \epsilon_{0} R^{3}} \vec{R}
\]
\[
\vec{B} \approx \frac{\mu_{0} q}{4 \pi R^{3}} (\vec{v} \times \vec{R})
\]
区别在于在远场处自场是近似不变的，而辐射场会随时间波动，并且辐射场在远处的能流积分不会衰减，而自场在远处无法产生明显效果
7.4 带电粒子的匀速率圆周运动
带电荷 \(q\) 的粒子在 \(xy\) 平面上绕 \(z\) 轴作匀速率圆周运动，角频率为 \(\omega\)，半径 \(R_0\)。设 \(\omega R_0 \ll c\)，试计算辐射场的频率和能流密度，讨论 \(\theta = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\) 及 \(\pi\) 处电磁场的偏振。
假设电子运动方程为 （取场点方向在 \(x-y\) 平面上的投影为 \(x\) 轴正方向）
\[
\vec{r} (t) = (R_{0} \cos \omega t, R_{0} \sin \omega t)
\]
\[
\vec{v} = (- \omega R_{0} \sin \omega t, \omega R_{0} \cos \omega t)
\]
\[
\vec{a} = (- \omega^{2} R_{0} \cos \omega t, - \omega^{2} R_{0} \sin \omega t) = - \omega^{2} R_{0} \cos \theta \cos \omega t \vec{e}_{r} - \omega^{2} R_{0} \sin \theta \cos \omega t \vec{e}_{\theta} - \omega^{2} R_{0} \sin \omega t \vec{e}_{\phi}
\]
所以在远场近似下
\[
\begin{aligned}
\vec{E}_{radia} &= \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2} R} (\vec{e}_{r} \times (\vec{e}_{r} \times \vec{a})) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2} R} (\vec{e}_{r} \times (- \omega^{2} R_{0 }\cos \theta \cos \omega (t - \frac{R}{c}) \vec{e}_{\phi} + \omega^{2} R_{0} \sin \omega (t - \frac{R}{c} ) \vec{e}_{\theta})) \\\\
&= \frac{q \omega^{2} R_{0}}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2} R} (\cos \theta \cos \omega (t - \frac{R}{c}) \vec{e}_{\theta} + \sin \omega (t - \frac{R}{c}) \vec{e}_{\phi}) = \frac{q R_0 \omega^2}{4\pi \epsilon_0 c^2 R} (\cos \theta \vec{e}_\theta + i \vec{e}_\phi) e^{i\left(\frac{\omega R - \omega t }{c}\right)}
\end{aligned}
\]
\[
\vec{B}_{radia} = \frac{\vec{e}_{r}}{c} \times \vec{E}_{radia} = \frac{q R_0 \omega^2}{4\pi \epsilon_0 c^3 R} (-i \vec{e}_\theta + \cos \theta \vec{e}_\phi) e^{i\left(\frac{\omega R - \omega t}{c}\right)}
\]
\[
<\vec{S}> = \frac{1}{2 \mu_{0}} \vec{E} \times \vec{B}^{*} = \frac{q^{2} R_{0}^{2} \omega^{4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0} c^{3} R^{2}} (\cos^{2} \theta + 1) \vec{e}_{r}
\]
当 \(\theta = 0, \pi\) 时， 辐射为圆偏振
当\(\theta = \frac{\pi}{2}\) 时，辐射为线偏振
其余情况为椭圆偏振 （\(\theta = \frac{\pi}{4}\)）
4. 带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用
能量转化与守恒定律，牛顿定律，电子的经典运动方程，电磁质量，辐射阻尼力，谱线的自然宽度
作业：书7.9
7.9 带电粒子在磁场中的辐射
一个质量为 \(m\)，电荷为 \(q\) 的粒子在一个平面上运动，该平面垂直于均匀静磁场 \(\vec{B}\)。
(1) 计算辐射功率，用 \(m, q, B, \gamma\) 表示 (\(E = \gamma m c^2\))
角频率
\[
q v B = \gamma m v \omega
\]
\[
\omega = \frac{q B}{\gamma m}
\]
回旋半径
\[
R_{0} = \frac{v}{\omega} = \frac{m c}{q B} \sqrt{\gamma^{2} - 1}
\]
再推导相对论情形下的辐射功率表达式
\[
\vec{E} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2} R (1 - \frac{\vec{v} \cdot \vec{R} }{c R})^{3}} (\vec{e}_{r} \times ((\vec{e}_{r} - \frac{\vec{v}}{c}) \times \vec{a})))
\]
\[
\vec{a} = (- \omega^{2} R_{0} \cos \omega t, - \omega^{2} R_{0} \sin \omega t) = - \omega^{2} R_{0} \cos \theta \cos \omega t \vec{e}_{r} - \omega^{2} R_{0} \sin \theta \cos \omega t \vec{e}_{\theta} - \omega^{2} R_{0} \sin \omega t \vec{e}_{\phi}
\]
带入 $\vec{v} \cdot \vec{a} = 0 $ 时的辐射功率公式
\[
P = \frac{q^{2} a^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}} \gamma^{4} = \frac{q^{2} \omega^{4} R_{0}^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}} \gamma^{4} = \frac{B^{2} q^{4}}{6 \pi \epsilon_{0} m^{2} c} (\gamma^{2} - 1)
\]
(2) 若在 \(t = t_0\) 时，\(E_0 = \gamma_0 m c^2\)，求 \(E(t)\)
\[
\frac{d E}{dt} = - \frac{B^2 q^4}{6 \pi \epsilon_0 m^2 c} (\frac{E^{2}}{m^{2} c^{4}} - 1)
\]
\[
\frac{d E}{E^{2} - m^{2} c^{4}} = - \frac{B^2 q^4}{6 \pi \epsilon_0 m^{4} c^{5}} dt
\]
\[
\int_{\gamma_{0} m c^{2}}^{E} \frac{d E}{E - m c^{2}} - \frac{d E}{E + m c^{2}} = \int_{t_{0}}^{t} - \frac{B^2 q^4}{3 \pi \epsilon_0 m^{3} c^{3}} dt
\]
\[
E (t) = m c^{2} \left( \frac{1 + \frac{\gamma_0 - 1}{\gamma_0 + 1} e^{-\frac{B^2 q^4}{3 \pi \epsilon_0 m^{3} c^{3}} (t - t_{0})}}{1 - \frac{\gamma_0 - 1}{\gamma_0 + 1} e^{-\frac{B^2 q^4}{3 \pi \epsilon_0 m^{3} c^{3}} (t - t_{0})}} \right)
\]
(3) 若初始时刻粒子为非相对论性的，其动能为 \(T_0\)，求时刻 \(t\) 的粒子动能 \(T\)
非相对论时
\[
P \approx \frac{q^{4} B^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3} m^{2}} v^{2} = \frac{q^{4} B^{2}}{3 \pi \epsilon_{0} c^{3} m^{3}} T
\]
\[
\frac{d T}{dt} = - \frac{q^{4} B^{2}}{3 \pi \epsilon_{0} c^{3} m^{3}} T
\]
\[
\int_{T_{0}}^{T} \frac{d T}{T} = \int_{0}^{t} - \frac{q^{4} B^{2}}{3 \pi \epsilon_{0} c^{3} m^{3}} dt
\]
\[
T (t) = T_0 e^{ -\frac{B^2 q^4}{3 \pi \epsilon_0 m^3 c^3} (t - t_0) }
\]
5. 电磁波的散射与吸收，介质的色散
自由电子对电磁波的散射，束缚电子对电磁波的散射，介质的色散，因果性与色散关系
作业：书7.5, 7.6, 7.8
7.5 带电谐振子在磁场中的运动
设有一各向同性的带电谐振子（无外场时粒子受弹性恢复力 \(-m \omega_0^2 \vec{r}\) 作用），处于均匀恒定外磁场 \(\vec{B}\) 中，假设粒子速度 \(v \ll c\) 及辐射阻尼力可以忽略，求：
(1) 振子运动的通解
在非相对论情形下
\[
\vec{f} = - m \omega_{0}^{2} \vec{r} + q \vec{v} \times \vec{B} = m \vec{a}
\]
\[
\begin{aligned}
m \ddot{x} &= - m \omega_{0}^{2} x + q B\dot{y} \\\\
m \ddot{y} &= - m \omega_{0}^{2} y - q B \dot{x} \\\\
m \ddot{z} &= - m \omega_{0}^{2} z
\end{aligned}
\]
采取复数法求解 （ \(z = x + iy\) ）
\[
\ddot{z} = - \omega_{0}^{2} z - i 2\omega_{B} \dot{z}
\]
其中 \(\omega_{B} = \frac{q B}{2m}\)
方程通解为
\[
z = A e^{i (\sqrt{\omega_{0}^{2} + \omega_{B}^{2}} - \omega_{0}) t} + B e^{ - i (\sqrt{\omega_{0}^{2} + \omega_{B}^{2}} + \omega_{0}) t}
\]
所以振子运动的通解为
\[
\vec{r} (t) = A (\hat{x} - i \hat{y}) e^{- i (-\sqrt{\omega_{0}^{2} + \omega_{B}^{2}} + \omega_{0}) t} + B (\hat{x} + i \hat{y}) e^{ - i (\sqrt{\omega_{0}^{2} + \omega_{B}^{2}} + \omega_{0}) t} + C \hat{z} e^{- i \omega_{0} t}
\]
(2) 利用上题结果，讨论沿磁场方向和垂直于磁场方向上辐射场的频率和偏振。
沿着磁场方向：因为 \(z\) 方向振动平行于 \(\vec{e}_{r}\) ，所以不会产生辐射场
利用7.4 的结果，可以把振动分解为频率为 \(- \omega_{0} + \sqrt{\omega_{0}^{2} + \omega_{B}^{2}}\) 和 \(\omega_{0} + \sqrt{\omega_{0}^{2} + \omega_{B}^{{2}}}\) 的叠加，并且二者均为圆偏振，其中前者是左旋，后者是右旋
垂直磁场方向：此时在垂直于 \(\vec{e}_{r}\) 的平面内振动的投影可以分解为
\(z\) 方向的频率为 \(\omega_{0}\) 的以及原来 \(x- y\) 平面内频率为 \(\omega_{0} - \sqrt{\omega_{0}^{2} + \omega_{B}^{2}}\) 和 \(\omega_{0} + \sqrt{\omega_{0}^{2} + \omega_{B}^{{2}}}\) 的叠加。三者均为线偏振，并且频率为 \(\omega_{0}\) 的波的偏振方向与频率为 \(\omega_{0} - \sqrt{\omega_{0}^{2} + \omega_{B}^{2}}\) 和 \(\omega_{0} + \sqrt{\omega_{0}^{2} + \omega_{B}^{{2}}}\) 的波是垂直的。
7.6 电子在均匀磁场中的运动
设电子在均匀外磁场 \(\vec{B}_0\) 中运动，取磁场 \(\vec{B}\) 的方向为 \(z\) 轴方向，已知 \(t = 0\) 时，\(x = R_0\)，\(y = z = 0\)，\(\dot{x} = \dot{z} = 0\)，\(\dot{y} = v_0\)，设非相对论条件满足，求：
(1) 考虑辐射阻尼力的电子运动轨道
对于题示这种准周期运动，可以采取平均辐射阻尼力 \(\frac{e^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}} \dot{\vec{a}}\)
此时运动方程变为
\[
\begin{aligned}
\ddot{x} &= \omega_{0} \dot{y} + \frac{\gamma}{\omega_{0}^{2}} \dddot{x} \\\\
\ddot{y} &= - \omega_{0} \dot{x} + \frac{\gamma}{\omega_{0}^{2}} \dddot{y}
\end{aligned}
\]
其中 \(\omega_{0} = \frac{q B}{m}, \gamma = \frac{e^{2} \omega_{0}^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} m c^{3}}\)
同样采取复数法求解，令 \(z = x + iy\)
\[
\ddot{z} = - i \omega_{0} \dot{z} + \frac{\gamma}{\omega_{0}^{2}} \dddot{z}
\]
特征方程
\[
\frac{\gamma}{\omega_{0}^{2}} \lambda^{2} - \lambda - i \omega_{0} = 0
\]
\[
\lambda = \frac{\omega_{0}^{2} \pm \omega_{0}^{2} \sqrt{1 + i 4 \frac{\gamma}{\omega_{0}}}}{2 \gamma}
\]
由于 \(\gamma << 1\) ，所以
\[
\lambda \approx \frac{\omega_{0}^{2} - \omega_{0}^{2} (1 + i 2 \frac{\gamma}{\omega_{0}} + 2 \frac{\gamma^{2}}{\omega_{0}^{2}})}{2 \gamma} = - i \omega_{0} - \gamma
\]
所以带入初始条件，得到运动轨迹为
\[
\begin{aligned}
&x \approx \left( R_0 - \frac{v_0}{\omega_0} \right) + \frac{v_0}{\omega_0} e^{-\gamma t} \cos \omega_0 t \\\\
y \approx \frac{v_0}{\omega_0} e^{-\gamma t} \sin \omega_0 t
\end{aligned}
\]
(2) 电子单位时间内的辐射能量
单位时间内，带入运动方向与加速度方向垂直的结论
\[
P (t) = \frac{e^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}} a^{2} = \frac{e^{2}}{6 \pi \epsilon_{0} c^{3}} \omega_{0}^{2} v_{0}^{2} e^{- 2 \gamma t}
\]
7.8 等离子体折射率
应用 §6 中导出介质色散的方法，推导等离子体折射率的公式(见第四章(9.29)式)
假设等离子体中单位体积的正负电荷数密度为 \(N\) ，在打入电磁波 \(\vec{E} = \vec{E}_{0} e^{-i \omega t}\) 时，电子运动方程可以写作
\[
\ddot{\vec{r}} = - \frac{e \vec{E}_{0}}{m} e^{- i \omega t}
\]
所以稳定时
\[
\vec{r} = \frac{e \vec{E}_{0}}{m \omega^{2}} e^{- i \omega t}
\]
极化强度
\[
\vec{P} = - \frac{N e^{2} \vec{E}_{0}}{m \omega^{2}} e^{- i \omega t}
\]
\[
\epsilon_{r} = 1 - \frac{N e^{2}}{m \epsilon_{0} \omega^{2}}
\]
\[
n(\omega) = \sqrt{1 - \frac{N e^2}{\epsilon_0 m \omega^2}}
\]